Der Kompromiss zwischen verschiedenen Regelkreisleistungen

Obwohl verschiedene fortschrittliche Regelalgorithmen (z.B. multivariable prädiktive Regelung) bei vielen Regelproblemen erfolgreich eingesetzt werden können, sind einfache PID-Regler immer noch für mehr als 90% der industriellen Regelkreise verantwortlich und dienen als Basis für anspruchsvollere Techniken. PID-Algorithmen sind aufgrund ihres attraktiven Kosten-Nutzen-Verhältnisses weit verbreitet, jedoch werden ihre Vorzüge nicht immer voll ausgeschöpft, und ihre Leistung könnte deutlich verbessert werden. In diesem Zusammenhang lohnt es sich herauszufinden, was in der Praxis verbessern werden kann.

Bei der Betrachtung einer Regelaufgabe können verschiedene Konzepte wie Sollwertverfolgung, Störunterdrückung, Reduzierung des Regelaufwands und Robustheit gegenüber unterschiedlichen Betriebsbedingungen definiert werden. Diese Ziele können nicht gleichzeitig erreicht werden, und oft ist ein Trade-off, also ein Kompromiss  und Ausgleich zwischen den Zielen erforderlich. Die Verbesserung einer Zielgröße kann eine Verschlechterung einer anderen bedeuten. Jede Zielgröße kann in Designvorgaben umgesetzt werden, und spezifische Indizes können die Leistung des PID-Reglers messen.

Trade-off zwischen Tracking und Regelung

Die Sollwertverfolgung kann über die Trennfrequenz der Schleifenübertragungsfunktion geregelt werden. Eine höhere Trennfrequenz (d.h. diejenige, die dem Punkt entspricht, an dem das Nyquist-Diagramm in den Einheitskreis eintritt) bedeutet ein schnelleres Regelverhalten. Bei der Abstimmung von Standard-PID-Reglern ist es schwierig, gleichzeitig ein gutes Tracking und eine schnelle Störunterdrückung zu erreichen. Angenommen, die Regelbandbreite ist festgelegt: Eine schnellere Störunterdrückung erfordert mehr Verstärkung innerhalb der Bandbreite, was nur durch eine Erhöhung der Flankensteilheit nahe der Trennfrequenz erreicht werden kann. Da eine größere Steilheit eine Annäherung an den kritischen Punkt (-1, 0i) bedeutet, geht dies in der Regel zu Lasten eines höheren Überschwingens als Reaktion auf die Sollwertänderungen.

Für die Kontrollraumbediener, die nur auf Basis der Leistungsparameter der Zeitbereichssteuerung arbeiten (z.B. Einschwingzeit, Anstiegszeit und maximales Überschwingen), sind diese Parameter im Frequenzbereich eher unbekannt. Daher wird oft ein bekannterer Leistungsindikator, das sog. Integral des absoluten Fehlers (IAE) betrachtet. Ein relativ niedriges IAE bettet ein relativ schnelles Regelverhalten und ein relativ geringes Schwingungsverhalten in die Regelgröße ein.

Es ist hervorzuheben, dass sich die Übertragungsfunktion zwischen Sollwert und Fehler von derjenigen der Laststörung und des Fehlers unterscheidet; daher führt ein niedriges IAE bei schnellen Verfolgungsaufgaben zu einem langsamen Verhalten mit hohem IAE in der Laststörunterdrückung; umgekehrt bedeutet eine schnelle Reaktion auf die Störung ein hohes Überschwingen als Reaktion auf eine Sollwertsprungänderung. Dies ist sehr häufig der Fall, wenn die Nullpolunterdrückung in der Closed-Loop-Übertragungsfunktion auftritt. Die Aufhebung funktioniert für die Tracking-Aufgabe, aber die Pole des Prozesses sind in der Übertragungsfunktion zwischen der Laststörung und der Prozessvariablen noch vorhanden. Die typischen Situationen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Trade-off zwischen Leistung und Robustheit

Ein weiterer wichtiger Trade-off besteht zwischen Leistung und Robustheit. Die Robustheit ist ein Maß dafür, inwieweit der Regler Veränderungen in der Prozessübertragungsfunktion tolerieren kann; genauer gesagt, in der Verstärkung und der Phasenverschiebung.

In diesem Fall gibt es einige nützliche Parameter, die als Designkriterien für die Robustheit herangezogen werden können:

• Die Verstärkungsspanne ist ein Maß dafür, wie stark sich die Prozessverstärkung ändern kann, bevor das geschlossene System instabil wird. Die Regelungstheorie besagt, dass der Betrag der Verstärkung, der erforderlich ist, um die Schleifenverstärkung bei der Frequenz, bei der der Phasenwinkel -180° beträgt, zu vereinheitlichen ist. Genauer gesagt, ist es der maximale Faktor, mit dem die Prozessverstärkung multipliziert werden kann, bevor die Übertragungsfunktion instabil wird.
• Der Phasenrand (Φ_m) ist ein Maß dafür, wie sehr sich die Prozessphase ändern kann, bevor das geschlossene System instabil wird. Die prozesskritische Phase Φ_c kann durch eine zusätzliche Verzögerung (z.B. durch Reibung im Ventil) oder durch eine Verringerung der Prozessverzögerung (z.B. durch Änderung der Fluideigenschaften oder der Reaktionsgeschwindigkeit) erhöht werden; nach der Steuerungstheorie ist die maximale Verzögerung, die von der Schleife toleriert werden kann Θ = Φ_m/ω_c (wobei der kritische Impuls dem Punkt entspricht, an dem das Nyquist-Diagramm in den Einheitskreis eintritt). Interessant ist auch, dass, wenn das geschlossene System durch ein Schwingungssystem zweiter Ordnung repräsentiert wird, seine Dämpfung irgendwie proportional zum Phasenrand ist.

Ein interessanter Einzelparameter zur Bewertung der Robustheit ist die so genannte Worst-Case-Empfindlichkeit, die durch den kürzeren Abstand vom Nyquist-Diagramm zum realen Punkt -1 gegeben ist; diese maximale Empfindlichkeit ist durch einige einfache Ungleichungen eng mit der Verstärkung und dem Phasenrand verbunden.

Mit diesem Parameter lässt sich der Trade-off zwischen Leistung und Robustheit leicht veranschaulichen, wie in der folgenden Abbildung dargestellt ist. Hier ist das System ein First Order plus Dead Time (FOPDT)-Prozess. Offensichtlich ist der Trade-off nach rechts nicht bedeutungslos, da sich das Nyquist-Diagramm annähert (-1, 0i), wodurch das Verhalten zu schwanken beginnt und das Integral des absoluten Fehlers wieder zunimmt.

Es sollten in diesem Zusammenhang zusätzliche Überlegungen zur Messung der Rauschfilterung und zum Regelaufwand angestellt werden. Das Closed-Loop-System wirkt mehr oder weniger wie ein Tiefpassfilter mit Einheitsverstärkung und Bandbreite gleich [0 ω_c]; daher sollte ω_c hoch genug eingestellt werden, um schnelle Sollwertänderungen und schnelle Reaktionen auf Störungen zu ermöglichen, aber nicht so sehr, dass das Messrauschen den Regelaufwand beeinflusst: Um den Antrieb nicht zu belasten oder zu saturieren, sollte der Regler C(jω) keine hohen Werte für ω > ω_c haben. Es ist also klar, dass wir wieder einen Trade-off haben.

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Robustheitsindizes, Phasenrand, Amplitudenreserve, Extremsfall Empfindlichkeit

Lösungen und Schlussfolgerungen

Um einen akzeptablen Trade-off zwischen unterschiedlichen Regelkreisleistungen zu erreichen, bieten sich einige Maßnahmen an. Eine Lösung ist die Implementierung eines Zwei-Freiheitsgrade-Reglers (2DoF-Regler), bei dem die üblichen PID-Parameter für eine gute Störunterdrückung eingestellt werden können, aber ein zusätzlicher Sollwert die Überschwingung im Sollwert-Tracker ausgleicht. Wenn der 2DoF-Algorithmus nicht verfügbar ist, sollte die Sollwertänderung in Form einer Rampe statt eines Schritts stattfinden.

Eine andere Lösung besteht darin, je nach Regelungsproblem oder Prozesssituation unterschiedliche PID-Parametersätze einzusetzen. Der Standard-PID-Regler sollte eine effektive Reaktion auf unvorhersehbare Störungen ermöglichen; dann kann ein anderer PID-Regler jederzeit wieder aufgerufen werden, wenn ein Sollwert vom Bediener geändert wird. Wenn bekannt ist, dass die Anlage unter ungewöhnlichen oder transienten Bedingungen arbeitet, kann ein Satz von robusten PID-Parametern in den Speicher des Reglers kopiert werden.

Der PID-Algorithmus ist eine der einfachsten Lösungen zur Regelung von Problemen, kann aber keine effektiven Ergebnisse für verschiedene Arten von Leistungen und Zielen liefern. Wichtig ist die Fokussierung auf die relevanteren Aufgaben und die Auswahl des dafür geeigneten Parametersatzes; alternativ können komplexere Techniken eingesetzt werden, um die Effektivität des PID-Reglers unter unterschiedlichen Betriebsbedingungen zu optimieren.